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\begin{document}


\bigskip IX) COMPL\'{E}MENTS SUR L'INT\'{E}GRATION.

Dans tout ce chapitre $f$ d\'{e}signe une fonction de $\mathbb{R}$ dans $%
\mathbb{R} $.

\bigskip

IX.1) FONCTIONS AYANT UNE PROPRI\'{E}T\'{E} \textquotedblright PAR
MORCEAUX\textquotedblright .

\qquad 1) D\'{e}finitions.

\bigskip Dans ce paragraphe, $a$ et $b$ sont deux r\'{e}els v\'{e}rifiant $%
a<b.$

DEF : on appelle subdivision d'ordre $n\in \mathbb{{{N}^{\ast }}}$ de
l'intervalle $[a,b]$ toute liste $\sigma =\left( x_{0},...,x_{n}\right) $ de 
$n+1$ r\'{e}els v\'{e}rifiant : 
\begin{equation*}
x_{0}=a<x_{1}<...<x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}

Les $x_{k}$ sont appel\'{e}s les \textit{points} de la subdivision, les
intervalles $[x_{k-1},x_{k}],k=1..n,$ les \textit{intervalles ferm\'{e}s de
la subdivision}, et les intervalles $\left] x_{k-1},x_{k}\right[ $ les 
\textit{intervalles ouverts} ; le r\'{e}el $\underset{k=1}{\overset{n}{\max }%
}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) $ s'appelle le \textit{pas} (ou le \textit{%
module}) de la subdivision.

La subdivision est dite \textit{r\'{e}guli\`{e}re} si les nombres $%
x_{k}-x_{k-1}$ sont \'{e}gaux entre eux (donc \'{e}gaux \`{a} $\dfrac{b-a}{n}%
).$\bigskip

REM : la subdivision est r\'{e}guli\`{e}re ssi $x_{k}=............$ ; ce qui
donne en particulier, lorsque $a=0$ et $b=1$ : $x_{k}=........$

\bigskip

DEF : soit $P$ une propri\'{e}t\'{e} concernant des fonctions sur un
intervalle ; on dira que la fonction $f$ poss\`{e}de la propri\'{e}t\'{e} $P$
\textit{par morceaux} (ou par \textit{intervalles}) sur $[a,b]$ s'il existe
une subdivision $\sigma =\left( x_{0},...,x_{n}\right) $ de $[a,b]$ telle
que les $n$ restrictions de $f$ aux intervalles ouverts $\left] x_{k-1},x_{k}%
\right[ $ de la subdivision $\sigma $ sont prolongeables en des fonctions
ayant la propri\'{e}t\'{e} $P$ sur les intervalles ferm\'{e}s $%
[x_{k-1},x_{k}].$

Une subdivision ayant cette propri\'{e}t\'{e} sera dite \textit{adapt\'{e}e} 
\`{a} la fonction $f$ sur $[a,b]$ pour la propri\'{e}t\'{e} $P.$

\bigskip

\qquad 2) Exemples classiques.

\qquad \qquad a) Fonction continue par morceaux.

\bigskip

CNS : $f$ est continue \textit{par morceaux} sur $[a,b]$ ss'il existe une
subdivision $\sigma =\left( x_{0},...,x_{n}\right) $ de $[a,b]$ telle que

\qquad $\alpha )$ les $n$ restrictions de $f$ aux intervalles ouverts $\left]
x_{k-1},x_{k}\right[ $ sont continues

$\qquad \beta )$ $f$ poss\`{e}de une limite finie stricte \`{a} droite en $%
x_{0},...,x_{n-1}$ et une limite finie stricte \`{a} gauche en $%
x_{1}...,x_{n}.$

\bigskip

Si l'on d\'{e}finit un point de discontinuit\'{e} \textit{de premi\`{e}re esp%
\`{e}ce} d'une fonction comme \'{e}tant un point de discontinuit\'{e} o\`{u}
la fonction poss\`{e}de cependant une limite stricte finie \`{a} gauche et 
\`{a} droite, cette CNS peut s'\'{e}crire :

\bigskip

CNS : $f$ est continue par morceaux sur $[a,b]$ ssi la restriction de $f$ 
\`{a} $[a,b]$ est continue en tout point de $[a,b]$ sauf en un nombre fini
de points o\`{u} la discontinuit\'{e} de la fonction est de premi\`{e}re esp%
\`{e}ce.

E1

\bigskip

PROP (application du th\'{e}or\`{e}me de Weierstrass) :

Une fonction continue par morceaux sur un segment est born\'{e}e sur ce
segment.

D1

\bigskip

Notation : l'ensemble des fonctions r\'{e}elles d'ensemble de d\'{e}finition 
$[a,b]$ continues par morceaux sur $[a,b]$ est not\'{e} $\mathcal{CM}\left(
[a,b],\mathbb{R}\right) .$

PROP (admise) : $\mathcal{CM}\left( [a,b],\mathbb{R}\right) $ est un
sous-espace vectoriel et un sous-anneau de $\mathbb{R}^{\mathbb{[}a,b]}.$

\bigskip

\qquad b) Fonctions constantes par morceaux.

\bigskip Elles sont plus commun\'{e}ment appel\'{e}es : \textit{fonctions en
escalier}.

CNS : $f$ est en escalier sur $[a,b]$ ss'il existe une subdivision $\sigma
=\left( x_{0},...,x_{n}\right) $ de $[a,b]$ et $n$ r\'{e}els $\lambda
_{1},...,\lambda _{n}$ tels que 
\begin{equation*}
\forall k\in \left[ \left| 1,n\right| \right] \;\forall x\in \left]
x_{k-1},x_{k}\right[ \;\;f\left( x\right) =\lambda _{k}
\end{equation*}

D2

\bigskip Notation : l'ensemble des fonctions r\'{e}elles d'ensemble de d\'{e}%
finition $[a,b]$ en escalier sur $[a,b]$ est not\'{e} $Esc\left( [a,b],%
\mathbb{R}\right) .$

\bigskip

PROP (admise) : $Esc\left( [a,b],\mathbb{R}\right) $ est un sous-espace
vectoriel et un sous-anneau de $\mathcal{CM}\left( [a,b],\mathbb{R}\right) .$

\bigskip

\qquad c) Fonctions affines par morceaux.

\bigskip

CNS : $f$ est affine par morceaux sur $[a,b]$ ss'il existe une subdivision $%
\sigma =\left( x_{0},...,x_{n}\right) $ de $[a,b]$ et $2n$ r\'{e}els $%
a_{1},...,a_{n}$,$b_{1},...,b_{n}$ tels que 
\begin{equation*}
\forall k\in \left[ 1,n\right] \;\forall x\in \left] x_{k-1},x_{k}\right[
\;\;f\left( x\right) =a_{k}x+b_{k}
\end{equation*}

D3

\bigskip

E2

\bigskip Notation : l'ensemble des fonctions r\'{e}elles d'ensemble de d\'{e}%
finition $[a,b]$ affines par morceaux sur $[a,b]$ est not\'{e} $\mathcal{AM}%
\left( [a,b],\mathbb{R}\right) .$

PROP (admise) : $\mathcal{AM}\left( [a,b],\mathbb{R}\right) $ est un
sous-espace vectoriel de $\mathcal{CM}\left( [a,b],\mathbb{R}\right) $ (mais
pas un sous-anneau).

\bigskip

\qquad d) Fonctions de classe $\mathcal{C}^{k}$ par morceaux.

\bigskip

Notation : l'ensemble des fonctions r\'{e}elles d'ensemble de d\'{e}finition 
$[a,b]$ de classe $\mathcal{C}^{k}$ par morceaux sur $[a,b]$ est not\'{e} $%
\mathcal{C}^{k}\mathcal{M}\left( [a,b],\mathbb{R}\right) .$

PROP (admise) : $\mathcal{C}^{k}\mathcal{M}\left( [a,b],\mathbb{R}\right) $
est une sous-alg\`{e}bre de $\mathcal{CM}\left( [a,b],\mathbb{R}\right) .$

E3

\bigskip

IX.2) INT\'{E}GRABILIT\'{E} D'UNE FONCTION BORN\'{E}E SUR UN\ SEGMENT.

\qquad 1) Int\'{e}grale d'une fonction en escalier.

PROP et DEF : soit $f$ une fonction en escalier sur $[a,b]$ , $\sigma
=\left( x_{0},...,x_{n}\right) $ une subdivision adapt\'{e}e \`{a} $f,$ et $%
\lambda _{k}$ la valeur constante de $f$ sur $\left] x_{k-1},x_{k}\right[ $
; alors le r\'{e}el 
\begin{equation*}
\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\lambda _{k}\left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\end{equation*}

est ind\'{e}pendant du choix de la subdivision adapt\'{e}e.

On l'appelle : int\'{e}grale de $f$ sur $[a,b]$ : 
\begin{equation*}
I\left( f\right) =\int_{a}^{b}f=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}f\left(
c_{k}\right) \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \;\text{avec }c_{k}\in \left]
x_{k-1},x_{k}\right[
\end{equation*}

REM : $\dfrac{\int_{a}^{b}f}{b-a}$ est le barycentre des $\lambda _{k}$
affect\'{e}s des coefficients $x_{k}-x_{k-1}$ ; il repr\'{e}sente donc la
valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[a,b].$

\bigskip

PROP : si $f$ et $g$ sont en escalier sur $[a,b],$ 
\begin{equation*}
\forall x\in \lbrack a,b]\;\;f\left( x\right) \leqslant g\left( x\right)
\Rightarrow I\left( f\right) \leqslant I\left( g\right)
\end{equation*}

\bigskip

\qquad 2) Int\'{e}grales inf\'{e}rieure et sup\'{e}rieure d'une fonction born%
\'{e}e sur un segment.

\bigskip

DEF : supposant $f$ born\'{e}e sur $[a,b]$ , on d\'{e}signe par \textit{int%
\'{e}grale inf\'{e}rieure} de $f$ sur $[a,b]$ la borne sup\'{e}rieure des int%
\'{e}grales des fonctions en escalier minorant $f$ sur $[a,b],$ et par 
\textit{int\'{e}grale sup\'{e}rieure} de $f$ sur $[a,b]$ la
............................................
................................................ : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$I^{-}\left( f\right) =\underset{\left\{ 
\begin{array}{c}
g\text{ en escalier sur }[a,b] \\ 
\forall x\in \lbrack a,b]\;\;g\left( x\right) \leqslant f\left( x\right)%
\end{array}
\right. }{\sup }I\left( g\right) $ \\ \hline
$I^{+}\left( f\right) =\underset{\left\{ 
\begin{array}{c}
h\text{ en escalier sur }[a,b] \\ 
\forall x\in \lbrack a,b]\;\;f\left( x\right) \leqslant h\left( x\right)%
\end{array}
\right. }{\inf }I\left( h\right) $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

PROP : si $\forall x\in \lbrack a,b]\;\;m\leqslant f\left( x\right)
\leqslant M$ \ alors 
\begin{equation*}
m\left( b-a\right) \leqslant I^{-}\left( f\right) \leqslant I^{+}\left(
f\right) \leqslant M\left( b-a\right)
\end{equation*}

\bigskip

DEF : $f$ est dite \textit{int\'{e}grable (au sens de Riemann)} sur $[a,b]$ d%
\`{e}s que son int\'{e}grale inf\'{e}rieure sur $[a,b]$ est \'{e}gale \`{a}
son int\'{e}grale sup\'{e}rieure : 
\begin{equation*}
f\text{ est int\'{e}grable sur }[a,b]\Leftrightarrow I^{-}\left( f\right)
=I^{+}\left( f\right)
\end{equation*}

la valeur commune des int\'{e}grales inf\'{e}rieure et sup\'{e}rieure de $f$
sur $[a,b]$ est appel\'{e}e \textit{int\'{e}grale} de $f$ sur $[a,b]$ et not%
\'{e}e $I\left( f\right) =\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx$ ($x$
\'{e}tant ici une variable muette).

\bigskip

REM : lorsque $f$ est en escalier, cette d\'{e}finition redonne bien celle
donn\'{e}e pr\'{e}c\'{e}demment.

\bigskip

Exemple de fonction non int\'{e}grable au sens de Riemann sur $[a,b]$ : E4.

\bigskip

CNS : $f$ est int\'{e}grable sur $[a,b]$ ss'il existe une suite $\left(
g_{n}\right) $ de fonctions en escalier minorant $f$ sur $[a,b]$ et une
suite $\left( h_{n}\right) $ de fonctions en escalier majorant $f$ sur $%
[a,b] $ telle que $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\left(
\int_{a}^{b}h_{n}-\int_{a}^{b}g_{n}\right) =0$ ; on a alors 
\begin{equation*}
\int_{a}^{b}f=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\int_{a}^{b}g_{n}=%
\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\int_{a}^{b}h_{n}
\end{equation*}

D4 (r\'{e}ciproque seulement).

APPLICATION : toute fonction monotone sur $[a,b]$ est int\'{e}grable sur $%
[a,b].$

D5

\bigskip

E5 : calcul de $\int_{0}^{a}xdx.$

\bigskip

TH : toute fonction continue par morceaux sur $[a,b]$ est int\'{e}grable sur 
$[a,b].$

\bigskip D\'{e}monstration d\'{e}taill\'{e}e :\bigskip

Donn\'{e}e : $f$ continue sur $[a,b]$ , $a\leqslant b,$ \`{a} valeurs r\'{e}%
elles.

\bigskip

D'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me de ................, $f$ est uniform\'{e}%
ment continue sur $[a,b].$

Choisissons $\varepsilon =\dfrac{1}{n},$ $n$ entier naturel non nul ; la
continuit\'{e} uniforme implique qu'il existe $\alpha _{n}>0$ tel que pour $%
x,y$ dans $[a,b],$ 
\begin{equation*}
|x-y|\leqslant .......\Rightarrow |f\left( x\right) -f\left( y\right)
|\leqslant ..........
\end{equation*}

Consid\'{e}rons une subdivision $\sigma _{n}=\left(
x_{0},...,x_{p_{n}}\right) $ de pas inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $\alpha
_{n}$ et construisons deux fonctions $g_{n}$ et $h_{n}$ en escalier, la premi%
\`{e}re minorant $f,$ la deuxi\`{e}me majorant $f$ de la fa\c{c}on suivante :

\bigskip

Sur $]x_{k-1},x_{k}[$ $g_{n}\left( x\right) =\underset{[x_{k-1},x_{k}]}{\min 
}f$ $=f\left( c_{k}\right) $ (ce minimum existe d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}%
me de ..............................) ; les valeurs de $g_{n}$ aux $x_{k}$
n'ont aucune importance.

De m\^{e}me, sur $]x_{k-1},x_{k}[$ $h_{n}\left( x\right) =\underset{%
[x_{k-1},x_{k}]}{\max }f$ $=f\left( d_{k}\right) $(remarque similaires).

\bigskip

Alors $\left\vert I(h_{n})-I(g_{n})\right\vert =\left\vert \underset{k=1}{%
\overset{p_{n}}{\dsum }}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \left( f\left(
d_{k}\right) -f\left( c_{k}\right) \right) \right\vert \leqslant \underset{%
k=1}{\overset{p_{n}}{\dsum }}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \left\vert f\left(
d_{k}\right) -f\left( c_{k}\right) \right\vert \leqslant \dfrac{1}{n}%
\underset{k=1}{\overset{p_{n}}{\dsum }}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) =\dfrac{%
............}{n}$

(On a pu majorer $\left\vert f\left( d_{k}\right) -f\left( c_{k}\right)
\right\vert $ par $\dfrac{1}{n}$ car
..........................................................................................)

\bigskip

Par cons\'{e}quent, $\left\vert I(h_{n})-I(g_{n})\right\vert $ tend vers 0
quand $n$ tend vers l'infini, et $f$ est int\'{e}grable au sens de Riemann.

\bigskip

L'int\'{e}grabilit\'{e} au sens de Riemann d'une fonction continue \textit{%
par morceaux} s'en d\'{e}duit facilement.

\bigskip

IX.3) PROPRI\'{E}T\'{E}S DE L'INT\'{E}GRALE D'UNE FONCTION CONTINUE PAR
MORCEAUX SUR UN SEGMENT

\bigskip

P1 : si $f$ est CM sur $[a,b]$, l'int\'{e}grale $\int_{a}^{b}f$ n'est pas
modifi\'{e}e si l'on modifie la valeur de $f$ en un nombre fini de points de 
$[a,b].$

\bigskip

P2 : si $f$ est d\'{e}finie sur $[a,b]$ sauf en un nombre fini de points,
mais qu'elle est prolongeable en une fonction CM sur $[a,b],$ alors l'int%
\'{e}grale de ce prolongement ne d\'{e}pend pas de ce prolongement ; on dira
par d\'{e}finition que c'est l'int\'{e}grale de $f$ sur $[a,b].$

\bigskip E5 : $\int_{0}^{\pi }\dfrac{\sin x}{x}dx$ a un sens$%
,\;\int_{0}^{\pi }\tan xdx$ n'en a pas.

Conventions : soient $a$ et $b$ deux r\'{e}els quelconques ;

\qquad - si $a=b,$ $\int_{a}^{b}f=0$ dans tous les cas.

\qquad - si $f$ est CM sur $[a,b]$ , on pose : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\int_{\lbrack a,b]}f=\int_{\min (a,b)}^{\max (a,b)}f$ \\ \hline
si $a>b,\;\int_{a}^{b}f=-\int_{b}^{a}f$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

E6 : $\int_{[x^{2}-x,x^{2}+x]}f\left( t\right) dt=$

\bigskip

P3 (Relation de Chasles) :

Si $a,b,c$ sont trois r\'{e}els quelconques et $f$ CM sur $[\min
(a,b,c),\max \left( a,b,c\right) ],$ alors, 
\begin{equation*}
\int_{a}^{c}f=\int_{a}^{b}f+\int_{b}^{c}f
\end{equation*}

D6

\bigskip

P4 (lin\'{e}arit\'{e} de l'int\'{e}grale) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f,g\text{ sont CM sur }[a,b] \\ 
\lambda ,\mu \in \mathbb{R}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) :$\int_{a}^{b}\left( \lambda f+\mu
g\right) =\lambda \int_{a}^{b}f+\mu \int_{a}^{b}g$ }}
\end{equation*}

P5 (positivit\'{e} de l'int\'{e}grale) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f\text{ est CM sur }[a,b]\; \\ 
f\left( x\right) \geqslant 0\text{ pour }x\in \lbrack a,b]\text{, sauf pour
un nombre fini de }x%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) :$\left\{ 
\begin{array}{l}
\int_{a}^{b}f\geqslant 0\;\fbox{si $a\leqslant b$} \\ 
\int_{\lbrack a,b]}f\geqslant 0\;\text{dans tous les cas}%
\end{array}
\right. $}}
\end{equation*}

D7

P6 (croissance de l'int\'{e}grale, coro de P4 et P5) : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f\text{ est CM sur }[a,b]\; \\ 
f\left( x\right) \leqslant g(x)\text{ pour }x\in \lbrack a,b]\text{, sauf
pour un nombre fini de }x%
\end{array}%
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) :$\left\{ 
\begin{array}{l}
\int_{a}^{b}f\leqslant \int_{a}^{b}g\;\fbox{si $a\leqslant b$} \\ 
\int_{\lbrack a,b]}f\leqslant \int_{\lbrack a,b]}g\text{ dans tous les cas}%
\end{array}%
\right. $}}
\end{equation*}

D8

P7 (positivit\'{e} stricte de l'int\'{e}grale, pour une fonction continue) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f\text{ est \textit{continue} sur }[a,b]\;,a\neq b \\ 
f\left( x\right) \geqslant 0\text{ pour }x\in \lbrack a,b] \\ 
f\left( x_{0}\right) >0\;\text{pour au moins un }x_{0}\in \lbrack a,b]%
\end{array}%
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) :$\left\{ 
\begin{array}{l}
\int_{a}^{b}f>0\;\fbox{si $a<b$} \\ 
\int_{\lbrack a,b]}f>0\;\text{dans tous les cas}%
\end{array}%
\right. $}}
\end{equation*}

D9

\bigskip CORO (contrapos\'{e}e de P7)

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f\text{ est \textit{continue }sur }[a,b]\;,a\neq b \\ 
f\left( x\right) \geqslant 0\text{ pour tout }x\in \lbrack a,b]\text{ ou }%
f\left( x\right) \leqslant 0\text{ pour tout }x\in \lbrack a,b] \\ 
\int_{a}^{b}f=0%
\end{array}%
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $f\left( x\right) =0\text{ pour
tout }x\in \lbrack a,b]$}}
\end{equation*}

D10

P8 (croissance stricte de l'int\'{e}grale pour des fonctions continues, coro
de P4 et P7) : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f,g\text{ sont \textit{continues} sur }[a,b]\;\;,a\neq b \\ 
f\left( x\right) \leqslant g(x)\text{ pour }x\in \lbrack a,b] \\ 
f\left( x_{0}\right) <g\left( x_{0}\right) \;\text{pour au moins un }%
x_{0}\in \lbrack a,b]%
\end{array}%
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) :$\left\{ 
\begin{array}{l}
\int_{a}^{b}f<\int_{a}^{b}g\;\fbox{si $a<b$} \\ 
\int_{\lbrack a,b]}f<\int_{[a,b]}g\text{ dans tous les cas}%
\end{array}%
\right. $}}
\end{equation*}

D11

\bigskip CORO (contrapos\'{e}e de P8)

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f\text{ et }g\text{ sont \textit{continues }sur }[a,b]\; \\ 
f\left( x\right) \leqslant g\left( x\right) \text{ pour tout }x\in \lbrack
a,b]\text{ } \\ 
\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{b}g%
\end{array}%
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $f\left( x\right) =g\left( x\right) 
\text{ pour tout }x\in \lbrack a,b]$}}
\end{equation*}

D12

\bigskip

P9 (In\'{e}galit\'{e} triangulaire pour les int\'{e}grales)

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\; 
\begin{array}{l}
f\text{ est CM sur }[a,b]\;%
\end{array}
$}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\left| \int_{a}^{b}f\right| \leqslant
\int_{\lbrack a,b]}\left| f\right| $}}
\end{equation*}

D13

\bigskip Exemple d'application : montrer que si $u_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\sin
\left( 10x\right) dx,$ $\lim u_{n}=0.$

P10 (In\'{e}galit\'{e}s de la moyenne)

Version encadrements : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f\text{ est CM sur }[a,b]\; \\ 
a\leqslant b%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\left( b-a\right) \underset{[a,b]}{%
\min }f\leqslant \int_{a}^{b}f\leqslant \left( b-a\right) \underset{[a,b]}{%
\max }f$}}
\end{equation*}

Version valeur absolue : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;f$ est CM sur $[a,b]\;$}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C)
: $\left| \int_{a}^{b}f\right| \leqslant \left| b-a\right| \underset{[a,b]}{%
\max }\left| f\right| $}}
\end{equation*}

D14

\bigskip

Explication de l'appellation ''in\'{e}galit\'{e}s de la moyenne'' :

\bigskip

DEF : la valeur moyenne d'une fonction $f$ CM sur $[a,b]$ est le nombre 
\begin{equation*}
\fbox{$M_{[a,b]}\left( f\right) =\dfrac{\int_{a}^{b}f}{b-a}$}\text{ si }%
a\neq b,\;M_{[a,b]}\left( f\right) =f\left( a\right) \text{ si }a=b\;
\end{equation*}

Remarquons que : 
\begin{equation*}
\fbox{$\dint_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\dint_{a}^{b}M_{[a,b]}\left(
f\right) dx$}
\end{equation*}

Les in\'{e}galit\'{e}s de la moyennes s'\'{e}noncent alors :

pour la version encadrement : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;f$ est CM sur $[a,b]\;$}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C)
: $\underset{[a,b]}{\min }f\leqslant M_{[a,b]}\left( f\right) \leqslant 
\underset{\lbrack a,b]}{\max }f$}}
\end{equation*}

pour la version valeur absolue : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;f$ est CM sur $[a,b]\;$}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C)
: $\left| M_{[a,b]}\left( f\right) \right| \leqslant \underset{\lbrack a,b]}{%
\max }\left| f\right| $}}
\end{equation*}

\bigskip

P11 (in\'{e}galit\'{e} de la moyenne pond\'{e}r\'{e}e) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;f$ et $g$ sont CM sur $[a,b]\;$}\;\;\text{alors\ \ 
\fbox{(C) : $\left| \int_{a}^{b}fg\right| \leqslant \underset{\lbrack a,b]}{%
\max }\left| f\right| \int_{[a,b]}\left| g\right| $}}
\end{equation*}

\bigskip D15

REM 1 : si on fait $g=1$ dans P11, on retrouve l'in\'{e}galit\'{e} de la
moyenne tout court, et si on fait $f=1,$ on retrouve l'in\'{e}galit\'{e}
triangulaire.

\bigskip

REM 2 : la moyenne d'une fonction $f$ CM sur $[a,b]$ pond\'{e}r\'{e}e par
une fonction $g$ CM sur $[a,b]$ d'int\'{e}grale non nulle sur $[a,b]$ est le
r\'{e}el : 
\begin{equation*}
M_{[a,b],g}\left( f\right) =\dfrac{\int_{a}^{b}fg}{\int_{a}^{b}g}
\end{equation*}

L'in\'{e}galit\'{e} de la moyenne pond\'{e}r\'{e}e s'\'{e}crit donc, si $g$
est positive sur $[a,b]$%
\begin{equation*}
\left| M_{[a,b],g}\left( f\right) \right| \leqslant \underset{\lbrack a,b]}{%
\max }\left| f\right|
\end{equation*}

\bigskip

IX.4) INT\'{E}GRALE FONCTION DE SA BORNE SUP\'{E}RIEURE. PRIMITIVES.

\bigskip

a) Propri\'{e}t\'{e}s de l'int\'{e}grale fonction de sa borne sup\'{e}rieure.

DEF : soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ ; on dit que $f$ est continue
par morceaux sur $I$ si elle est continue par morceaux sur tout segment
inclus dans $I.$

\bigskip

Exemples : la fonction partie enti\`{e}re est continue par morceaux sur $%
\mathbb{R},$ la fonction $x\mapsto \left\lfloor \dfrac{1}{x}\right\rfloor $
est continue par morceaux sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast }$, mais pas sur $%
\mathbb{R}_{+}.$

\bigskip Consid\'{e}rons une fonction $f$ continue par morceaux sur
l'intervalle $I$ ; \'{e}tant donn\'{e} un point $a$ de $I,$ on d\'{e}finit
la fonction $F$ sur $I$ par 
\begin{equation*}
F\left( x\right) =\dint_{a}^{x}f
\end{equation*}

Remarquons que $F$ ne d\'{e}pend de $a$ qu'\`{a} une constante pr\`{e}s ; en
effet, si $b\in I$ et $G\left( x\right) =\dint_{b}^{x}f,$ $G\left( x\right)
-F\left( x\right) =\dint_{b}^{a}f=cte.$

\bigskip

TH 1 : la fonction $F$ est continue sur $I$ (m\^{e}me si $f$ est
discontinue).

\bigskip D16

REM : On dit que l'int\'{e}gration a une fonction de r\'{e}gularisation.

E7

\bigskip

TH 2 : la fonction $F$ est d\'{e}rivable \`{a} droite et \`{a} gauche en
tout point $x_{0}$ de $I$ (si $x_{0}$ est l'une des bornes de $I,$ il n'y a
qu'une seule de ces deux d\'{e}rivabilit\'{e}s), et 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$F_{g}^{\prime }\left( x_{0}\right) =\underset{x\overset{<}{\rightarrow }%
x_{0}}{\lim }f\left( x\right) $ \\ \hline
$F_{d}^{\prime }\left( x_{0}\right) =\underset{x\overset{>}{\rightarrow }%
x_{0}}{\lim }f\left( x\right) $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D17

\bigskip

COROLLAIRE 1 (th\'{e}or\`{e}me fondamental de l'int\'{e}gration) : si la
fonction $f$ est continue en $x_{0}\in \overset{\circ }{I}$, la fonction $F$
est de classe $\mathcal{C}^{1}$ en $x_{0}$ et $F^{\prime }\left(
x_{0}\right) =f\left( x_{0}\right) .$

D18

\bigskip

COROLLAIRE 2 : si la fonction $f$ est continue sur $I,$ la fonction $F$ est
de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $I$ ; plus g\'{e}n\'{e}ralement, si la
fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{p}$ sur $I,$ la fonction $F$ est de
classe $\mathcal{C}^{p+1}$ sur $I$.

\bigskip

b) Application \`{a} l'existence de primitives et au calcul des int\'{e}%
grales.

\bigskip

DEF : une fonction $F$ est appel\'{e}e une \textit{primitive} de $f$ sur
l'intervalle $I$ si $F$ est d\'{e}rivable sur $I$ et si $\forall x\in
I\;\;F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right) .$

\bigskip

REM : on a vu dans le cours sur les applications du th\'{e}or\`{e}me des
accroissements finis que deux primitives d'une m\^{e}me fonction SUR UN
INTERVALLE diff\`{e}rent d'une constante sur cet intervalle.

\bigskip

TH 3 (corollaire du TH 2) : toute fonction \textit{continue} sur un
intervalle poss\`{e}de une primitive sur cet intervalle.

D19

\bigskip

REM : ce th\'{e}or\`{e}me est ''existentiel'' mais non constructif. Il ne
dit pas comment obtenir une primitive \`{a} l'aide des fonctions usuelles.
On d\'{e}montre d'ailleurs qu'il existe des fonctions s'exprimant alg\'{e}%
briquement \`{a} l'aide de fonctions usuelles dont les primitives ne peuvent
s'exprimer \`{a} l'aide des fonctions usuelles.

Exemples : $\dfrac{\sin x}{x},\dfrac{e^{x}}{x},e^{x^{2}}$ etc...

\bigskip Mais on sait maintenant par contre que $x\mapsto
\dint_{0}^{x}e^{t^{2}}dt$ est une primitive de $x\mapsto e^{x^{2}}.$

ATTENTION : PAR CONTRE SI $f$ est continue par morceaux sur un intervalle $I$
SANS ETRE CONTINUE, ELLE NE POSSEDE PAS DE PRIMITIVE sur $I$ ; la fonction $%
F $ d\'{e}finie dans 1) n'est pas d\'{e}rivable sur $I$ tout entier.

\bigskip

\bigskip TH 3 bis (corollaire du TH pr\'{e}c\'{e}dent et de la remarque qui
le pr\'{e}c\`{e}de) : toute fonction \textit{continue} sur un intervalle poss%
\`{e}de une UNIQUE primitive $F_{x_{0},y_{0}}$ sur cet intervalle prenant
une valeur donn\'{e}e $y_{0}$ en un point donn\'{e} $x_{0}$ de $I$ ; elle
est d\'{e}finie par 
\begin{equation*}
F_{x_{0},y_{0}}(x)=.................................
\end{equation*}

D20

\bigskip

TH 4 (expression de l'int\'{e}grale d'une fonction continue sur un segment 
\`{a} l'aide de l'une de ses primitives) :

si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $F$ est une primitive quelconque de $f$
sur $[a,b],$ alors 
\begin{equation*}
\dint_{a}^{b}f\left( x\right) dx=F(b)-F(a),\text{ que l'on note }\left[
F\left( x\right) \right] _{a}^{b}
\end{equation*}

D21

E8

\bigskip \bigskip

c) Int\'{e}gration par parties.

\bigskip Rien de nouveau par rapport au cours de niveau 1.

d) Changement de variable.

\bigskip La seule extension est le fait qu'on peut l'appliquer m\^{e}me si
la fonction est continue par morceaux.

\bigskip

PROP : si $u$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un intervalle 
$[a,b]$ et si $f$ est une fonction continue \textit{par morceaux} sur $%
J=u\left( [a,b]\right) ,$ alors : 
\begin{equation*}
\dint_{a}^{b}f\left( u\left( x\right) \right) u^{\prime }\left( x\right)
dx=\dint_{u(a)}^{u\left( b\right) }f\left( x\right) dx
\end{equation*}

\bigskip

\qquad

\bigskip

IX.5) FORMULE DE TAYLOR AVEC\ RESTE INTEGRAL.\bigskip

a) Formule de Taylor avec reste int\'{e}gral et in\'{e}galit\'{e} de
Taylor-Lagrange.

TH (formule de Taylor avec reste int\'{e}gral) :

soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $[a,b],$ $T_{\left(
n,f,a\right) }$ le polyn\^{o}me de Taylor de $f$ en $a$ ; alors : 
\begin{equation*}
f\left( b\right) =T_{\left( n,f,a\right) }\left( b\right) +\underset{\text{%
reste int\'{e}gral}}{\underbrace{\dfrac{1}{n!}\dint_{a}^{b}\left( b-x\right)
^{n}f^{\left( n+1\right) }\left( x\right) dx}}=\underset{k=0}{\overset{n}{%
\dsum }}\dfrac{\left( b-a\right) ^{k}}{k!}f^{\left( k\right) }\left(
a\right) +\dint_{a}^{b}\dfrac{\left( b-x\right) ^{n}}{n!}f^{\left(
n+1\right) }\left( x\right) dx
\end{equation*}

D22 : poser $I_{k}=\dint_{a}^{b}\dfrac{\left( b-x\right) ^{k}}{k!}f^{\left(
k+1\right) }\left( x\right) dx$ , v\'{e}rifier par une int\'{e}gration par
parties que 
\begin{equation*}
I_{k}=-\dfrac{\left( b-a\right) ^{k}}{k!}f^{\left( k\right) }\left( a\right)
+I_{k-1}
\end{equation*}

et it\'{e}rer cette relation de r\'{e}currence en partant de $I_{n}.$

\bigskip

APPLICATION : in\'{e}galit\'{e} de Taylor-Lagrange :

soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $[a,b],$ $T_{\left(
n,f,a\right) }$ le polyn\^{o}me de Taylor de $f$ en $a$ ; alors : 
\begin{equation*}
\left| f\left( b\right) -T_{\left( n,f,a\right) }\left( b\right) \right|
\leqslant \dfrac{\left| b-a\right| ^{n+1}}{\left( n+1\right) !}\underset{%
[a,b]}{\max }\left| f^{\left( n+1\right) }\right|
\end{equation*}

D23

REM : pour $n=0,$ cette in\'{e}galit\'{e} n'est autre que celle des
accroissements finis.

\bigskip

b) Application au d\'{e}veloppement en s\'{e}rie de Taylor de fonctions
usuelles.

\bigskip

Par convention, $\underset{k=k_{0}}{\overset{\infty }{\dsum }}u_{k}$ d\'{e}%
signe la limite quand $n$ tend vers $+\infty $ de $\underset{k=k_{0}}{%
\overset{n}{\dsum }}u_{k}.$

TH 1 pour tout r\'{e}el $x$ : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$e^{x}=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\dsum }}\dfrac{x^{k}}{k!},\;$ch $x=%
\underset{k=0}{\overset{\infty }{\dsum }}\dfrac{x^{2k}}{\left( 2k\right) !}%
,\;$sh $x=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\dsum }}\dfrac{x^{2k+1}}{\left(
2k+1\right) !}$ \\ \hline
$\cos x=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\dsum }}\left( -1\right) ^{k}\dfrac{%
x^{2k}}{\left( 2k\right) !},\;\sin x=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\dsum }%
}\left( -1\right) ^{k}\dfrac{x^{2k+1}}{\left( 2k+1\right) !}$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D24

\bigskip

TH 2 : pour tout r\'{e}el $x\in \lbrack -1/2,1]$%
\begin{equation*}
\ln \left( 1+x\right) =\underset{k=1}{\overset{\infty }{\dsum }}\left(
-1\right) ^{k+1}\dfrac{x^{k}}{k}
\end{equation*}

D25

REM 1 : pour $x=1,$ on obtient l'\'{e}galit\'{e} remarquable 
\begin{equation*}
1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-.....=\ln 2
\end{equation*}

REM 2 : on d\'{e}montre que l'\'{e}galit\'{e} du TH 2 est valable pour $x\in
]-1,1]$ (et m\^{e}me aussi pour $x=-1$, si l'on dit que $\ln \left( 0\right)
=-\infty ...)$

\bigskip

IX.6 ) SOMMES DE RIEMANN.

\bigskip

DEF : soit $f$ une fonction r\'{e}elle d\'{e}finie sur un intervalle $%
[a,b],a<b,\;$et $\sigma =\left( x_{1},....,x_{n}\right) $ une subdivision de
cet intervalle ; dans chaque intervalle $[x_{k-1},x_{k}]$ de la subdivision,
on se donne un \'{e}l\'{e}ment $c_{k}$ ; par d\'{e}finition, la somme de
Riemann associ\'{e}e \`{a} la fonction $f$, \`{a} la subdivision $\sigma $
et \`{a} $\left( c_{k}\right) _{k=1..n}$ est le r\'{e}el : 
\begin{equation*}
S_{\left( f,\sigma ,\left( c_{k}\right) \right) }=\underset{k=1}{\overset{n}{%
\dsum }}f\left( c_{k}\right) \left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\end{equation*}

\bigskip

REM : si la subdivision $\sigma $ est r\'{e}guli\`{e}re, $S_{\left( f,\sigma
,\left( c_{k}\right) \right) }=\dfrac{b-a}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{%
\dsum }}f\left( c_{k}\right) $ ; en particulier, si $a=0,b=1$ et $%
c_{k}=x_{k},$ on a : 
\begin{equation*}
S_{\left( f,\sigma ,\left( x_{k}\right) \right) }=\dfrac{1}{n}\underset{k=1}{%
\overset{n}{\dsum }}f\left( \dfrac{k}{n}\right)
\end{equation*}

formule \`{a} savoir sans h\'{e}siter.

\bigskip

TH des sommes de Riemann : en raccourci, si $f$ est continue sur $[a,b],$
les sommes de Riemann \textquotedblright convergent\textquotedblright\ vers
l'int\'{e}grale de la fonction $f$ sur $[a,b]$ lorsque le pas de la
subdivision tend vers 0, ce qui signifie tr\`{e}s pr\'{e}cis\'{e}ment que : 
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0\;\;\exists \alpha >0\;\;\forall \sigma ,\forall
\left( c_{k}\right) \;\;\;\text{pas}\left( \sigma \right) \leqslant \alpha
\Rightarrow \left\vert \dint_{a}^{b}f-S_{\left( f,\sigma ,\left(
c_{k}\right) \right) }\right\vert \leqslant \varepsilon
\end{equation*}

\bigskip D\'{e}monstration d\'{e}taill\'{e}e :\bigskip

Donn\'{e}e : $f$ continue sur $[a,b]$ , $a<b,$ \`{a} valeurs r\'{e}elles.

\bigskip

D'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me de Heine, $f$ est uniform\'{e}ment continue
sur $[a,b].$

Soit $\varepsilon >0$ ; la continuit\'{e} uniforme implique qu'il existe $%
\alpha >0$ tel que pour $x,y$ dans $[a,b],$ 
\begin{equation*}
|x-y|\leqslant \alpha \Rightarrow |f\left( x\right) -f\left( y\right)
|\leqslant \dfrac{\varepsilon }{b-a}
\end{equation*}

Consid\'{e}rons une subdivision $\sigma =\left( x_{0},...,x_{n}\right) $ de
pas inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $\alpha $ et une suite $\left(
c_{k}\right) $ associ\'{e}e ;

\bigskip

Alors $\left\vert \dint_{a}^{b}f-S_{\left( f,\sigma ,\left( c_{k}\right)
\right) }\right\vert =\left\vert \dint_{a}^{b}f\left( x\right) dx-\underset{%
k=1}{\overset{n}{\dsum }}f\left( c_{k}\right) \left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\right\vert =\left\vert \underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}%
\dint_{x_{k-1}}^{x_{k}}\left( f\left( x\right) -f\left( c_{k}\right) \right)
dx\right\vert $

$\qquad \leqslant \underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}\dint_{x_{k-1}}^{x_{k}}%
\left\vert f\left( x\right) -f\left( c_{k}\right) \right\vert dx\leqslant 
\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}\dint_{x_{k-1}}^{x_{k}}\dfrac{\varepsilon 
}{b-a}dx=\dfrac{\varepsilon }{b-a}\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}\left(
x_{x}-x_{k-1}\right) =\varepsilon ,$ CQFD

\bigskip

On en d\'{e}duit, en prenant une subdivision r\'{e}guli\`{e}re et des $x_{k}$
\'{e}gaux \`{a} la borne de droite de leur intervalle, le

\bigskip

COROLLAIRE : si $f$ est continue sur $[a,b],$ la suite $\left( S_{n}\right) $
d\'{e}finie par 
\begin{equation*}
S_{n}=\dfrac{b-a}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}f\left( a+k\dfrac{b-a%
}{n}\right)
\end{equation*}

converge vers $\dint_{a}^{b}f.$

D26

\bigskip

REM : on en d\'{e}duit que si $f$ est CM sur $[a,b]$ d'int\'{e}grale non
nulle$,$ $\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}f\left( a+k\dfrac{b-a}{n}%
\right) \underset{n\rightarrow +\infty }{\sim }n.M_{[a,b]}\left( f\right) , $
et en particulier, pour $a=0$ et $b=1$ : 
\begin{equation*}
\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}f\left( \dfrac{k}{n}\right) \underset{%
n\rightarrow +\infty }{\sim }n.M_{[0,1]}\left( f\right) =n\dint_{0}^{1}f
\end{equation*}

E12

$u_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}\dfrac{1}{n+k}\rightarrow \ln
2,\;\;v_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}\dfrac{1}{\left( n+k\right)
^{2}}\sim \dfrac{1}{2n},\;\;w_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}\sin 
\dfrac{k\pi }{n}\sim \dfrac{2n}{\pi },\;\;x_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{%
\dsum }}\dfrac{e^{-\tfrac{n}{k}}}{k^{2}}\sim \dfrac{1}{en}.$

\bigskip

\smallskip IX.7) CALCULS APPROCH\'{E}S D'UNE\ INT\'{E}GRALE (hors programme).

\smallskip

Donn\'{e}es : $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ continue, $\left(
x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n}\right) $ subdivision r\'{e}guli\`{e}re de $%
[a,b],$

$I=\dint_{a}^{b}f=\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}%
\dint_{x_{k-1}}^{x_{k}}f $.

\strut

\textbf{a) M\'{e}thode des rectangles (gauche ou droite).}

On remplace $\dint_{x_{k-1}}^{x_{k}}f$ par $(x_{k}-x_{k-1})f(x_{k-1})$ ou
par $(x_{k}-x_{k-1})f(x_{k})$.

On obtient pour chacun des cas les formules approch\'{e}es :

\begin{equation*}
\fbox{$I_{r_{1}}=\dfrac{b-a}{n}\overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum }}f(a+k%
\dfrac{b-a}{n})$ et $I_{r_{2}}=\dfrac{b-a}{n}\overset{n}{\underset{k=1}{\sum 
}}f(a+k\dfrac{b-a}{n})$}
\end{equation*}
$.$

Les formules sont exactes pour $f$ constante.

\bigskip

REM : $I_{r_{2}}-I_{r_{1}}=\dfrac{b-a}{n}\left( f\left( b\right) -f\left(
a\right) \right) $

\strut

PROP : Majoration de l'erreur, si $f$ est $C^{1}$ sur $[a,b]$ et $M_{1}=%
\underset{\left[ a,b\right] }{\max }\left| f^{\prime }\right| $

\begin{equation*}
\fbox{$\left| I-I_{r_{1}}\right| \leqslant M_{1}\dfrac{(b-a)^{2}}{2n}$}\text{
(idem pour }\left| I-I_{r_{2}}\right| \text{).}
\end{equation*}

De plus, cette in\'{e}galit\'{e} est une \'{e}galit\'{e} quand $f$ est
affine.

\bigskip D33 : \`{a} l'aide de l'in\'{e}galit\'{e} de Taylor-Lagrange, on
montre d'abord que si $f$ est $C^{1}$ sur $\left[ \alpha ,\beta \right] $ : 
\begin{equation*}
\left| \int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx-(\beta -\alpha )f(\alpha )\right|
\leqslant \dfrac{(\beta -\alpha )^{2}}{2}\underset{\left[ \alpha ,\beta %
\right] }{\max }\left| f^{\prime }\right|
\end{equation*}

\strut\ puis on applique ceci aux cas $\alpha =x_{k-1},\beta =x_{k}$.

\textbf{b) M\textbf{\'{e}thode} des rectangles centr\'{e}s.}

\strut On remplace $\dint_{x_{k-1}}^{x_{k}}f$ par $(x_{k}-x_{k-1})f\left( 
\dfrac{x_{k}+x_{k-1}}{2}\right) $ ; on obtient la formule approch\'{e}e

\begin{equation*}
\fbox{$I_{rc}=\dfrac{b-a}{n}\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}f\left(
a+\left( 2k-1\right) \dfrac{b-a}{2n}\right) $}
\end{equation*}

La formule est exacte pour $f$ affine.

\strut

\strut PROP : Majoration de l'erreur, si $f$ est $C^{1}$ et $M_{1}=\underset{%
\left[ a,b\right] }{\max }\left| f^{\prime }\right| $

\begin{equation*}
\fbox{$\left\vert I-I_{rc}\right\vert \leqslant M_{1}\dfrac{(b-a)^{2}}{4n}$}
\end{equation*}

\bigskip D35 : en utilisant 2 fois l'in\'{e}galit\'{e} de Taylor-Lagrange,
on montre que 
\begin{eqnarray*}
\left\vert \int_{\alpha }^{\beta }f\;-\left( \beta -\alpha \right) f\left( 
\dfrac{\alpha +\beta }{2}\right) \right\vert &\leqslant &\left\vert
\int_{\alpha }^{\tfrac{\alpha +\beta }{2}}f\;-\dfrac{\beta -\alpha }{2}%
f\left( \dfrac{\alpha +\beta }{2}\right) \right\vert +\left\vert \int_{%
\tfrac{\alpha +\beta }{2}}^{\beta }f\;-\dfrac{\beta -\alpha }{2}f\left( 
\dfrac{\alpha +\beta }{2}\right) \right\vert \\
&\leqslant &\dfrac{(\beta -\alpha )^{2}}{8}\underset{\left[ \alpha ,\tfrac{%
\alpha +\beta }{2}\right] }{\max }\left\vert f^{\prime }\right\vert +\dfrac{%
(\beta -\alpha )^{2}}{8}\underset{\left[ \tfrac{\alpha +\beta }{2},\beta %
\right] }{\max }\left\vert f^{\prime }\right\vert \leqslant \dfrac{(\beta
-\alpha )^{2}}{4}\underset{\left[ \alpha ,\beta \right] }{\max }\left\vert
f^{\prime }\right\vert
\end{eqnarray*}%
\newline

\strut\ puis on applique ceci aux cas $\alpha =x_{k-1},\beta =x_{k}$.

\strut

\textbf{c) M\'{e}thode des trap\`{e}zes.}

On remplace $\dint_{x_{k-1}}^{x_{k}}f$ par $(x_{k}-x_{k-1})\dfrac{%
f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}$ ; on obtient la formule approch\'{e}e :

\begin{equation*}
\fbox{$I_{tr}=\dfrac{b-a}{n}\left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+\overset{n-1}{%
\underset{k=1}{\dsum }}f\left( a+k\dfrac{b-a}{n}\right) \right) =\dfrac{%
I_{r_{1}}+I_{r_{2}}}{2}=I_{r_{1}}+\dfrac{b-a}{2n}\left( f\left( b\right)
-f\left( a\right) \right) =I_{r_{2}}-\dfrac{b-a}{2n}\left( f\left( b\right)
-f\left( a\right) \right) $}
\end{equation*}

\strut

La formule est exacte pour $f$ affine.

\strut

PROP : Majoration de l'erreur, si $f$ est $C^{2}$ et $M_{2}=\underset{\left[
a,b\right] }{\max }\left\vert f^{\prime \prime }\right\vert $

\begin{equation*}
\fbox{$\left| I-I_{tr}\right| \leqslant M_{2}\dfrac{(b-a)^{3}}{12n^{2}}$}%
\text{ }
\end{equation*}

De plus, cette in\'{e}galit\'{e} est une \'{e}galit\'{e} quand $f$ est du
second degr\'{e}.

\bigskip D34 : on montre d'abord que si $f$ est $C^{2}$ sur $\left[ \alpha
,\beta \right] ,\dint_{\alpha }^{\beta }f(x)dx=\dfrac{\beta -\alpha }{2}%
(f(\alpha )+f\left( \beta \right) )-\dint_{\alpha }^{\beta }\left( x-\dfrac{%
\alpha +\beta }{2}\right) f^{\prime }(x)dx$

\strut $=\dfrac{\beta -\alpha }{2}(f(\alpha )+f$($\beta ))-\dfrac{1}{2}%
\dint_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )f^{\prime \prime }(x)dx.$

(Ecrire d'abord $dx=d\left( x-\dfrac{\alpha +\beta }{2}\right) $, puis $%
\left( x-\dfrac{\alpha +\beta }{2}\right) dx=d\left( \dfrac{1}{2}(x-\alpha
)(x-\beta )\right) $)

On en d\'{e}duit que $\left| \int_{\alpha }^{\beta }f\;-\dfrac{\beta -\alpha 
}{2}(f(\alpha )+f(\beta ))\right| \leqslant \dfrac{(\beta -\alpha )^{3}}{12}%
\underset{\left[ \alpha ,\beta \right] }{\max }\left| f^{\prime \prime
}\right| $

\strut\ puis on applique ceci aux cas $\alpha =x_{k-1},\beta =x_{k}$.

\strut

REM : ceci montre que $\left( I-I_{r_{1}}\right) \sim \left(
I_{r_{2}}-I\right) \underset{n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{f\left(
b\right) -f\left( a\right) }{2n}.$

\strut

\bigskip

\textbf{d) M\'{e}thode de Simpson.}

On remplace $\dint_{x_{k-1}}^{x_{k}}f$ par $(x_{k}-x_{k-1})\dfrac{%
f(x_{k-1})+4f\left( \dfrac{x_{k-1}+x_{k}}{2}\right) +f(x_{k})}{6}$, ce qui
donne la formule approch\'{e}e :

$\strut $

\begin{equation*}
\fbox{$I_{s}=\dfrac{b-a}{6n}\left( f(a)+f(b)+2\overset{n-1}{\underset{k=1}{%
\sum }}f\left( a+k\dfrac{b-a}{n}\right) +4\overset{n-1}{\underset{k=1}{\sum }%
}f\left( a+\left( 2k+1\right) \dfrac{b-a}{2n}\right) \right) $}
\end{equation*}

\ 

La formule est exacte pour $f$ polynomiale de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou 
\'{e}gal \`{a} trois.

\strut REM : \ \fbox{\ $I_{s}=\dfrac{1}{3}\left( I_{tr}+2I_{rc}\right) $}

\strut PROP : Majoration de l'erreur, si $f$ est $C^{4}$ et $M_{4}=\underset{%
\left[ a,b\right] }{\max }\left| f^{\left( 4\right) }\right| $

\begin{equation*}
\fbox{$\left| I-I_{s}\right| \leqslant M_{4}\dfrac{(b-a)^{5}}{2880n^{4}}$}%
\text{ }
\end{equation*}

De plus, cette majoration est une \'{e}galit\'{e} quand $f$ est du quatri%
\`{e}me degr\'{e}.

\bigskip D36 : on montre d'abord que si $f$ est $C^{4}$ sur $\left[ \alpha
,\beta \right] ,$

$\left| \dint_{\alpha }^{\beta }f\;-\dfrac{\beta -\alpha }{6}\left( f(\alpha
)+4f\left( \dfrac{\alpha +\beta }{2}\right) +f(\beta )\right) \right|
\leqslant \dfrac{(\beta -\alpha )^{5}}{2880}\underset{\left[ \alpha ,\beta %
\right] }{\max }\left| f^{\left( 4\right) }\right| $

\strut\ puis on applique ceci aux cas $\alpha =x_{k-1},\beta =x_{k}$.

\bigskip

EXEMPLE : calcul de $\dint_{0}^{\pi /2}\sin xdx$ ; les 5 m\'{e}thodes :
rectangles \`{a} droite, rectangles \`{a} gauche, trap\`{e}zes, rectangles
centr\'{e}s, et Simpson donnent successivement, pour $n$ = 10 :

1,076482803

0,9194031703

0,9979429867

1,001028824

1,000000212

\strut

\ 

IX.8 ) EXTENSION DES NOTIONS PR\'{E}C\'{E}DENTES AUX FONCTIONS DE $\mathbb{R}
$ vers $\mathbb{C}$.

\bigskip

$f$ d\'{e}signe une fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{C}$, $g$ et $h$
ses parties r\'{e}elle et imaginaire ($g(x)=\func{Re}\left( f\left( x\right)
\right) ,h(x)=\func{Im}\left( f\left( x\right) \right) $

\qquad

a) Limites, continuit\'{e}, \'{e}quivalents, $o$, $O$.

\bigskip

Les d\'{e}finitions sont les m\^{e}mes, \`{a} condition de lire les valeurs
absolues comme des modules (par contre les d\'{e}finitions avec des
encadrements ne sont plus valables ; par exemple, $f$ est continue en $x_{0}$
ssi 
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0\;\;\exists \alpha >0\;\;\forall x\in D_{f}\;\;\left|
x-x_{0}\right| <\alpha \Rightarrow \left| f\left( x\right) -f\left(
x_{0}\right) \right| <\varepsilon
\end{equation*}

\bigskip

Il n'y a plus de notion de limite infinie (mais toujours des limites \textit{%
en} $\pm \infty )$ pour $f,$ mais il y en a pour $\left| f\right| ,$ qui est
une fonction r\'{e}elle ; par exemple, $x\mapsto xe^{ix}$ n'a pas de limite
en plus l'infini, mais 
\begin{equation*}
\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\left| xe^{ix}\right| =+\infty
\end{equation*}

\bigskip

PROP : il y a \'{e}quivalence entre l'existence d'une limite $l$ pour $f$
avec celle d'une limite $l_{1}$ pour $g$ et d'une limite $l_{2}$ pour $h,$
et l'on a $l=l_{1}+il_{2};$ on en d\'{e}duit l'\'{e}quivalence entre la
continuit\'{e} de $f$ et celle, simultan\'{e}e, de $g$ et $h.$

\bigskip

Les propri\'{e}t\'{e}s concernant les op\'{e}rations restent inchang\'{e}es.

\bigskip

b) D\'{e}rivation.

\bigskip

D\'{e}finitions identiques ; par exemple, 
\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\underset{u\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{f\left(
x+u\right) -f\left( x\right) }{u}
\end{equation*}

PROP : la d\'{e}rivabilit\'{e} de $f$ \'{e}quivaut \`{a} celle de ses
parties r\'{e}elle et imaginaire $g$ et $h$ ; et $f^{\prime }=g^{\prime
}+ih^{\prime }.$

\bigskip

Exemple : 
\begin{equation*}
\dfrac{d}{dx}e^{ix}=ie^{ix}=e^{i\left( x+\frac{\pi }{2}\right) }
\end{equation*}

\bigskip

Les propri\'{e}t\'{e}s concernant les op\'{e}rations restent inchang\'{e}es
; mais par contre, le th\'{e}or\`{e}me de Rolle ne s'\'{e}tend pas aux
fonctions complexes.

\bigskip

c) Int\'{e}gration.

\bigskip

On ne peut plus d\'{e}finir l'int\'{e}grabilit\'{e} \`{a} partir des
fonctions en escalier minorantes et majorantes. La d\'{e}finition la plus
simple consiste \`{a} poser que l'int\'{e}grabilit\'{e} de $f$ \'{e}quivaut 
\`{a} celle de ses parties r\'{e}elle et imaginaire $g$ et $h$ ; et l'on
pose 
\begin{equation*}
\dint_{a}^{b}f=\dint_{a}^{b}g+i\dint_{a}^{b}h
\end{equation*}

\bigskip

Toutes les propri\'{e}t\'{e}s ne faisant pas intervenir d'encadrements
restent valables.

\bigskip

IX. 9) COMPL\'{E}MENTS : m\'{e}thodes de calculs de primitives (hors
programme).

\bigskip

a) Primitives des fractions rationnelles r\'{e}elles.

\bigskip

On d\'{e}compose en \'{e}l\'{e}ments simples dans $\mathbb{R}$ :

\bigskip

\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline
les termes en & s'int\`{e}grent en &  \\ \hline
$x^{k}\;\left( k\geqslant 0\right) $ &  & $\dfrac{x^{....}}{{}}$ \\ \hline
$\dfrac{1}{\left( x-x_{0}\right) ^{k}}\;\left( k\geqslant 2\right) $ &  & $-%
\dfrac{1}{.....\left( x-x_{0}\right) ^{.......}}$ \\ \hline
$\dfrac{1}{x-x_{0}}$ &  & $\ln \left\vert x-x_{0}\right\vert $ \\ \hline
$\dfrac{ax+b}{\left( x+c\right) ^{2}+e^{2}}=\dfrac{a}{2}\dfrac{2\left(
x+c\right) }{\left( x+c\right) ^{2}+e^{2}}+\dfrac{b-ac}{\left( x+c\right)
^{2}+e^{2}}$ &  & $\dfrac{a}{2}\ln \left( ............\right) +.....\arctan
\left( ....................\right) $ \\ \hline
$%
\begin{array}{c}
\left( k\geqslant 2\right) \dfrac{ax+b}{\left( \left( x+c\right)
^{2}+e^{2}\right) ^{k}}= \\ 
\dfrac{a}{2}\dfrac{2\left( x+c\right) }{\left( \left( x+c\right)
^{2}+e^{2}\right) ^{k}}+\dfrac{b-ac}{\left( \left( x+c\right)
^{2}+e^{2}\right) ^{k}}%
\end{array}%
$ &  & $%
\begin{array}{c}
\dfrac{........}{\left( \left( x+c\right) ^{2}+e^{2}\right) ^{.....}}+\ast
\\ 
\ast \text{, terme s'int\'{e}grant en utilisant }I_{n}\left( x\right) =\dint 
\dfrac{dx}{\left( 1+x^{2}\right) ^{n}}%
\end{array}%
$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

REM\ 1 : ceci d\'{e}montre que toute fraction rationnelle poss\`{e}de une
primitive ne faisant intervenir que $\ln ,\arctan ,$ et des fractions
rationnelles.

\bigskip Mais il faut temp\'{e}rer cet enthousiasme par le fait que, le th%
\'{e}or\`{e}me de D'Alembert n'\'{e}tant pas constructif, on ne sait pas
factoriser des polyn\^{o}mes de degr\'{e} $\geqslant 5$ ; par exemple, le
calcul de $\dint_{a}^{b}\dfrac{dx}{x^{5}+x^{2}+1}$ est subordonn\'{e} \`{a}
la factorisation de $X^{5}+X^{2}+1,$ laquelle est inconnue....

\bigskip

b) Primitives des fonctions rationnelles en sinus et cosinus.

\bigskip

DEF : une fonction de deux variables est dite rationnelle si lorsqu'on fixe
une variable (et quelles que soient les fa\c{c}ons de le faire), la fonction
d'une variable obtenue est rationnelle.

\bigskip

Soit donc \`{a} d\'{e}terminer $\dint f\left( \cos x,\sin x\right) dx$ avec $%
f$ rationnelle.

\bigskip On dispose des r\`{e}gles dites de Bioche :

\bigskip * Premier cas : si l'\'{e}l\'{e}ment diff\'{e}rentiel $f\left( \cos
x,\sin x\right) dx$ est invariant par le changement $x\rightarrow \pi -x,$
poser $u=\sin x.$

Explication : on a $f\left( -\cos x,\sin x\right) =-f\left( \cos x,\sin
x\right) ,$ $f$ est donc impaire par rapport \`{a} sa premi\`{e}re variable
et l'on pourra alors toujours \'{e}crire $f\left( \cos x,\sin x\right) =\cos
x.g\left( \cos ^{2}x,\sin x\right) $ avec $g$ rationnelle ; alors 
\begin{equation*}
\dint f\left( \cos x,\sin x\right) dx=\dint g\left( \cos ^{2}x,\sin x\right)
\cos x\;dx=\dint g\left( 1-u^{2},u\right) du
\end{equation*}
et on tombe sur une fraction rationnelle en $u,$ qui s'int\`{e}gre.

\bigskip

* Deuxi\`{e}me cas : si l'\'{e}l\'{e}ment diff\'{e}rentiel $f\left( \cos
x,\sin x\right) dx$ est invariant par le changement $x\rightarrow -x,$ poser 
$u=\cos x.$

Explication : on a $f\left( \cos x,-\sin x\right) =-f\left( \cos x,\sin
x\right) ,$ $f$ est donc impaire par rapport \`{a} sa deuxi\`{e}me variable
et l'on pourra alors toujours \'{e}crire $f\left( \cos x,\sin x\right) =\sin
x.g\left( \cos x,\sin ^{2}x\right) $ avec $g$ rationnelle ; alors 
\begin{equation*}
\dint f\left( \cos x,\sin x\right) dx=\dint g\left( \cos x,\sin ^{2}x\right)
\sin x\;dx=-\dint g\left( u,1-u^{2}\right) du
\end{equation*}
et on tombe sur une fraction rationnelle en $u,$ qui s'int\`{e}gre.

\bigskip

* Troisi\`{e}me cas : si l'\'{e}l\'{e}ment diff\'{e}rentiel $f\left( \cos
x,\sin x\right) dx$ est invariant par le changement $x\rightarrow x+\pi ,$
poser $u=\tan x.$

Explication : on a $f\left( -\cos x,-\sin x\right) =f\left( \cos x,\sin
x\right) ,$et l'on d\'{e}montre que l'on pourra alors toujours \'{e}crire $%
f\left( \cos x,\sin x\right) =g\left( \tan x\right) $ avec $g$ rationnelle ;
alors 
\begin{equation*}
\dint f\left( \cos x,\sin x\right) dx=\dint g\left( \tan x\right) \;dx=\dint 
\dfrac{g\left( u\right) }{1+u^{2}}du
\end{equation*}
et on tombe sur une fraction rationnelle en $u,$ qui s'int\`{e}gre.

\bigskip ATTENTION : la primitive obtenue ne sera valable que sur $\left] -%
\dfrac{\pi }{2}+k\pi ,\dfrac{\pi }{2}+k\pi \right[ $ ; si $\dfrac{\pi }{2}$
est dans l'intervalle d'int\'{e}gration, on peut aussi poser $u=\cot x,$ qui
fonctionne de mani\`{e}re similaire.

* si aucun des cas pr\'{e}c\'{e}dent n'a fonctionn\'{e}, poser $u=\tan 
\dfrac{x}{2},$ changement fonctionnant dans tous les cas.

\bigskip

Explication : 
\begin{equation*}
\dint f\left( \cos x,\sin x\right) dx=\dint f\left( \dfrac{1-u^{2}}{1+u^{2}},%
\dfrac{2u}{1+u^{2}}\right) \;\dfrac{2du}{1+u^{2}}
\end{equation*}
et on tombe sur une fraction rationnelle en $u,$ qui s'int\`{e}gre.

\bigskip

ATTENTION : la primitive obtenue ne sera valable que sur $\left] -\pi +2k\pi
,\pi +2k\pi \right[ $ ; si $\pi $ est dans l'intervalle d'int\'{e}gration,
on peut aussi poser $u=\cot \dfrac{x}{2},$ qui fonctionne de mani\`{e}re
similaire.

\bigskip

c) Primitives des fonctions rationnelles en l'exponentielle.

\bigskip

Soit \`{a} d\'{e}terminer $\dint f\left( e^{x}\right) dx$ avec $f$
rationnelle : poser $u=e^{x}.$

\bigskip

Explication : 
\begin{equation*}
\dint f\left( e^{x}\right) dx=\dint f\left( u\right) \dfrac{du}{u}
\end{equation*}
et on tombe sur une fraction rationnelle en $u,$ qui s'int\`{e}gre.

\bigskip

REM : ce cas englobe celui des fonctions rationnelles en cosinus
hyperbolique et en sinus hyperbolique.

\bigskip

d) Primitives des fonctions rationnelles en $x$ et en $\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{%
cx+d}}.$

\bigskip

Soit \`{a} d\'{e}terminer $\dint f\left( x,\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}%
\right) dx$ avec $f$ rationnelle : poser $u=\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}.$

\bigskip

Explication : $u^{n}=\dfrac{ax+b}{cx+d},$ donc $x=\dfrac{b-du^{n}}{cu^{n}-a}%
=g\left( u\right) $ avec $g$ rationnelle, et donc 
\begin{equation*}
\dint f\left( x,\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}\right) dx=\dint f\left( g\left(
u\right) ,u\right) g^{\prime }\left( u\right) du
\end{equation*}
et on tombe sur une fraction rationnelle en $u,$ qui s'int\`{e}gre.

\bigskip

e) Primitives des fonctions rationnelles en $x$ et en $\sqrt{ax^{2}+bx+c}.$

\bigskip

Soit \`{a} d\'{e}terminer $\dint f\left( x,\sqrt{ax^{2}+bx+c}\right) dx$
avec $f$ rationnelle, et $\Delta =b^{2}-4ac\neq 0$ (pourquoi le cas $\Delta
=0$ est-il \'{e}vident ?)

\bigskip

Premi\`{e}re \'{e}tape : mettre $ax^{2}+bx+c$ sous sa forme canonique $%
\dfrac{1}{4a}\left( \left( 2ax+b\right) ^{2}-\Delta \right) $ et poser $u=%
\dfrac{2ax+b}{\sqrt{\left| \Delta \right| }}$ ; il y a alors 3 cas

\bigskip

Premier cas : $\Delta >0$ et $a>0$ : on obtient $\dint f\left( x,\sqrt{%
ax^{2}+bx+c}\right) dx=\dint g\left( u,\sqrt{u^{2}-1}\right) du$ : poser
alors $v=\arg $ch$\varepsilon u\;(\varepsilon =\pm 1),$ d'o\`{u} $%
u=\varepsilon $ch $v$ et $du=\varepsilon $ sh $vdv,$ soit 
\begin{equation*}
\dint g\left( u,\sqrt{u^{2}-1}\right) du=\dint g\left( \varepsilon \text{ch }%
v,\text{sh }v\right) \varepsilon \text{sh }vdv
\end{equation*}

et on, est ramen\'{e} au III)

\bigskip

Deuxi\`{e}me cas : $\Delta >0$ et $a<0$ : on obtient $\dint f\left( x,\sqrt{%
ax^{2}+bx+c}\right) dx=\dint g\left( u,\sqrt{1-u^{2}}\right) du$ : poser
alors $v=\arcsin u,$ d'o\`{u} $u=\sin v$ et $du=\cos v~dv,$ soit 
\begin{equation*}
\dint g\left( u,\sqrt{1-u^{2}}\right) du=\dint g\left( \sin v,\cos v\right)
\cos vdv
\end{equation*}

et on, est ramen\'{e} au II)

\bigskip

Troisi\`{e}me cas : $\Delta <0$ et $a>0$ : on obtient $\dint f\left( x,\sqrt{%
ax^{2}+bx+c}\right) dx=\dint g\left( u,\sqrt{1+u^{2}}\right) du$ : poser
alors $v=\arg \sinh u,$ d'o\`{u} $u=$sh $v$ et $du=$ch $v~dv,$ soit 
\begin{equation*}
\dint g\left( u,\sqrt{1+u^{2}}\right) du=\dint g\left( \text{sh }v,\text{ch }%
v\right) \text{ch }vdv
\end{equation*}

et on, est ramen\'{e} au III)

\end{document}
